题目

先假设我不知道最小二乘法,只知道矩阵运算法则,如果A满足QR分解,把A=QR带入方程Ax=b得QRx=b,由于Q∧TQ=I,R可逆,先左乘Q∧T,再左乘R∧-1得x=R∧-1Q∧Tb,我知道这不是原方程的解,只是二乘阶,原方程多数情况下不相容,但是如果不知道最小二乘法,既然我推出来了x的表达式,又不是它的解呢,把这个x表达式带回去左边为b在colA的投影,右边为b确实不是解,我的疑问是以传统代数思维,既然是原方程推出来的,那么带回原方程也还应该成立呀（不要讲什么最小二乘法,就论这种思维有什么毛病,我认为我推理的步骤都对呀）

提问时间：2021-01-20

答案

这个推理逻辑错误在于
你先假设了Ax=b成立,然后由此出发得到QRx=b, Rx=Q^Tb, x=R^{-1}Q^Tb
这些推理得到的结论是
如果Ax=b有解,那么解必须是x=R^{-1}Q^Tb
仅此而已,“Ax=b存在解”这个假设始终没有被验证过