题目

直角三角形ABC中,角A是直角,D点是BC的中点,E在AB上,F在AC上,DE垂直DF,求证EF平方=BE平方+CF平方

提问时间：2021-01-20

答案

证明：（过程比较复杂,请结合图像仔细对照）
延长ED至G,使DG=DE,连接GF,GC
因为 DG=DE,DE垂直DF（垂直平分）
所以 GF=EF
因为 BD=CD,DE=DG,∠BDE=∠CDG(对顶角)
所以 三角形BDE全等于三角形CDG
所以 GC=BE,∠GCD=∠B
因为 ∠A=90度,所以 ∠B+∠C=90度
因为 ∠GCD=∠B,
所以 ∠GCD+∠C=90度,即∠GCF=90度
所以 GF^2=CG^2+CF^2
因为 GF=EF,CG=BE (已证)
所以 EF^2=AE^2+BF^2