题目
如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D1D=
.
(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的大小;
(2)求证:AC⊥平面BB1D1D.
2 |
(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的大小;
(2)求证:AC⊥平面BB1D1D.
提问时间:2021-01-17
答案
(1)∵D1D⊥平面ABCD,BD是D1B在底面ABCD上的射影,
∴∠D1BD是直线D1B与平面ABCD所成的角,
在直角三角形D1BD中,BD=
,D1D=
,
则tan∠D1BD=
=1,
∴∠D1BD=45°,
即直线D1B与平面ABCD所成角的大小为45°;
(2)证明:∵ABCD为正方形,∴AC⊥BD,
∵D1D⊥平面ABCD,∴D1D⊥AC,
又BD∩D1D=D,
∴AC⊥平面BB1D1D.
∴∠D1BD是直线D1B与平面ABCD所成的角,
在直角三角形D1BD中,BD=
2 |
2 |
则tan∠D1BD=
D1D |
BD |
∴∠D1BD=45°,
即直线D1B与平面ABCD所成角的大小为45°;
(2)证明:∵ABCD为正方形,∴AC⊥BD,
∵D1D⊥平面ABCD,∴D1D⊥AC,
又BD∩D1D=D,
∴AC⊥平面BB1D1D.
(1)由D1D⊥平面ABCD,BD是D1B在底面ABCD上的射影,则∠D1BD是直线D1B与平面ABCD所成的角,在直角三角形D1BD中,由已知数据,即可求出∠D1BD;
(2)要证AC⊥平面BB1D1D,只需证得AC⊥BD,AC⊥D1D,由正方形的对角线的性质和D1D⊥底面ABCD,即可得证.
(2)要证AC⊥平面BB1D1D,只需证得AC⊥BD,AC⊥D1D,由正方形的对角线的性质和D1D⊥底面ABCD,即可得证.
直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
本题考查空间直线与平面所成的角,考查直线与平面垂直的判定和性质,同时考查运算能力,属于中档题.
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