题目

已知三棱锥A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥面BCD，∠ADB=60°，点E、F分别在AC、AD上，使面BEF⊥ACD，且EF∥CD，则平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为（　　）
A.

6

6

B.

7

7

C.

2

4

D.

1

3

提问时间：2021-01-15

答案

由题意，∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，
∴AB⊥CD
∵∠BCD=90°
∴CD⊥BC
∵AB∩BC=B
∴CD⊥面ABC
∵BE⊂面ABC
∴CD⊥BE
∵EF∥CD
∴BE⊥EF
∵面BEF⊥面ACD，面BEF∩面ACD=EF
∴BE⊥面ACD
∵AC⊂面ACD
∴BE⊥AC
∵EF∥CD，EF⊂面BEF，EF⊄面BCD
∴EF∥面BCD
设面BEF∩面BCD=l
∴EF∥l
∴∠EBC为平面BEF与平面BCD所成的二面角
∵∠BCD=90°，BC=CD=1
∴BD＝

2

∵AB⊥面BCD，∠ADB=60°
∴AB＝

6

在△ABC中，BE⊥AC
∴∠EBC=∠BAC
∵AB＝

6

，BC＝1
∴AC＝

7

∴sin∠BAC＝

7

7

∴平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为

7

7

故选B．

先判断∠EBC为平面BEF与平面BCD所成的二面角，再在△ABC中，求出平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值．

本题考点：与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：本题是求无棱二面角的平面角，解题的关键是正确作出二面角的平面角，难度较大，很容易做错，要小心．