题目
一道高等数学题:用铁板做一个体积为2立方米的长方体有盖水箱,问长宽高各取多少时,才能用料最少?
是微积分类的题
是微积分类的题
提问时间:2021-01-14
答案
这是多元函数的条件极值问题
可用拉格朗日乘数法
设长为x米,宽为y米,高为z米,则用料
f(x,y,z)=2(xy+yz+xz)
限制条件为
g(x,y,z)=xyz-2=0
令F(x,y,z)=2(xy+yz+xz)+λ(xyz-2)
则
Fx'=2(y+z)+λyz=0
Fy'=2(x+z)+λxz=0
Fz'=2(x+y)+λxy=0
xyz=2
=>x=y=z=2^(1/3)
解得唯一驻点(2^(1/3),2^(1/3),2^(1/3))
故用料最少在长宽高均为2^(1/3)米时取得
f(min)=6*2^(2/3)=9.52 平方米
可用拉格朗日乘数法
设长为x米,宽为y米,高为z米,则用料
f(x,y,z)=2(xy+yz+xz)
限制条件为
g(x,y,z)=xyz-2=0
令F(x,y,z)=2(xy+yz+xz)+λ(xyz-2)
则
Fx'=2(y+z)+λyz=0
Fy'=2(x+z)+λxz=0
Fz'=2(x+y)+λxy=0
xyz=2
=>x=y=z=2^(1/3)
解得唯一驻点(2^(1/3),2^(1/3),2^(1/3))
故用料最少在长宽高均为2^(1/3)米时取得
f(min)=6*2^(2/3)=9.52 平方米
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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