题目

在直线x-y+2根号2=0,使到圆x^2+y^2=1的切线最短,并求此切线的长

提问时间：2021-01-14

答案

题目少写了几个字,我猜测是这样的：
在直线x－y＋2根号2＝0上取一点,使这点到圆x^2＋y^2＝1的切线最短,并求此切线的长.
第一个问题：
过圆x^2＋y^2＝1的圆心O（0,0）作直线x－y＋2√2＝0的垂线,垂足A就是要求的点.
下面证明过直线x－y＋2√2＝0上点A作⊙O的切线是最短的.
过A作⊙O的切线AB.
∵AB切⊙O于B,∴AB⊥OB,∴由勾股定理,有：AB^2＝AO^2－OB^2.
显然,OB是⊙O的半径,为定值.
自然,要使AB有最小值,只要AO有最小值就可以了.
在直线x－y＋2√2＝0上取点A外的任意一点C,则△OAC是以OC为斜边的直角三角形,
∴OC＞OA,∴由点A向⊙O所作的切线是最短的.
下面求出点A的坐标.
改写直线x－y＋2√2＝0的形式,得：y＝x＋2√2,显然直线的斜率＝1.
∵点A在直线y＝x＋2√2上,∴可设点A的坐标为（m,m＋2√2）.
∴OA的斜率＝（m＋2√2）/m.
∵OA与直线x－y＋2√2＝0垂直,∴（m＋2√2）/m＝－1,∴m＋2√2＝－m,∴m＝－√2,
∴m＋2√2＝√2.
即满足条件的点的坐标是（－√2,√2）.
第二个问题：
由圆的方程x^2＋y^2＝1,得：OB＝1.
显然有：AO^2＝（－√2－0）^2＋（√2－0）^2＝4.
∴AB^2＝AO^2－OB^2＝4－1＝3,∴AB＝√3.
即满足条件的切线长为√3.
注：若原题不是我所猜测的那样,则请你补充说明.