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题目
在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.

提问时间:2020-12-26

答案
设B、C关于直线y=kx+3对称,故可设直线BC方程为x=-ky+m,代入y2=4x,得 y2+4ky-4m=0.
设B(x1,y1)、C(x2,y2),则 BC中点M(x0,y0),则y0=
y1+y2
2
=-2k,x0=2k2+m.
∵点M(x0,y0)在直线l上,∴-2k=k(2k2+m)+3,∴m=-
2k3+2k+3
k

又∵BC与抛物线交于不同两点,∴△=16k2+16m>0.
把m代入化简得
k3+2k+3
k
<0,即
(k+1)(k2−k+3)
k
<0,解得-1<k<0.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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