题目

一个15位数,123a321a1234567能被7整除,求a的最大值?

提问时间：2021-01-13

答案

a 的最大值是 7.
任何数都可以写成 10 的多项式的形式,比如数 abc 可以写成 a*10^2 + b*10^1 + c*10^0,而 10 的各次方除以 7 的余数按下列规律变化（从 10^0 开始,10^1,10^2...）：1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2...可见其以 6 为周期变化,即 10^(6n+x) 与 10^x 除以 7 的余数相同,因此题目中 15 位数除以 7 的余数可以写为：
1*7+3*6+2*5+(-1)*4+(-3)*3+(-2)*2+1*1+3*a+2*1+(-1)*2+(-3)*3+(-2)*a+1*3+3*2+2*1 = 21+a,因此要想题设中数字能被 7 整除,仅需要 a 能被 7 整除,所以 a 最大值为 7.（事实上 a 只有两个选择：0 或者 7）