题目

设函数f有一阶连续偏导数，求由方程f（x-y，y-z，z-x）=0所确定的函数z=z（x，y）的全微分．

提问时间：2021-01-12

答案

在方程f（x-y，y-z，z-x）=0两边对x求偏导得：
f′₁-f'₂•z'_x+f'₃•（z'_x-1）=0，
则

∂z

∂x

＝

f′1−f′3

f′2−f′3

．
同理，

∂z

∂y

＝

f′2−f′1

f′2−f′3

∴函数z=z（x，y）的全微分
dz＝

f′1−f′3

f′2−f′3

dx+

f′2−f′1

f′2−f′3

dy

方程f（x-y，y-z，z-x）=0两端分别对x求偏导和对y求偏导，根据复合函数求导法则就可以求出

∂z

∂x

，

∂z

∂y

，从而根据全微分的定义，得出答案．

本题考点：多元函数全微分的计算．

考点点评：题考查隐函数的求导法则和复合函数求导法则以及全微分的定义，熟悉两个法则和全微分的定义就可以求出来．偏导数的求解过程中，为了书写的简单，经常会用f'₁表示函数f对第一个变量求偏导．