题目

由下列不等式：1>1/2,1+1/2+1/3>1,1+1/2+1/3+.+1/7>3/2,1+1/2+1/3+.+1/15>2,.,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.

提问时间：2021-01-12

答案

能得到的一般不等式为：1+1/2+1/3+.+1/(2^n - 1) > n/2 （n为自然数）
证明：
能得到的一般不等式为：1+1/2+1/3+.+1/(2^n - 1) > n/2 （n为自然数）①
令n=1、2、3、4即可得：1>1/2,1+1/2+1/3>1,1+1/2+1/3+.+1/7>3/2,1+1/2+1/3+.+1/15>2 ；①成立.假设n=k时,1+1/2+1/3+.+1/(2^k - 1) > k/2 成立.则需证n=k+1时,1+1/2+1/3+.+1/(2^(k+1)- 1) >(k+1)/2 需证：1/2^k+.+1/(2^(k+1)- 1) >1/2而：1/2^k+.+1/(2^(k+1)- 1) > 1/(2^(k+1)- 1)+.+1/(2^(k+1)- 1) = 2^k/(2^(k+1)- 1) 只需证：2^k/(2^(k+1)- 1) >1/2而 0< 2^(k+1) -1< 2^(k+1) ,所以：2^k/(2^(k+1)- 1) >2^k/(2^(k+1))=1/2从而：n=k+1时,1+1/2+1/3+.+1/(2^(k+1)- 1) >(k+1)/2得到证明.
所以：1+1/2+1/3+.+1/(2^n - 1) > n/2 （n为自然数）
嘎嘎.