题目

已知向量

OA

=（2，2），

OB

=（4，1），点P在x轴上，且使

AP

•

BP

有最小值，则点P的坐标为（　　）
A. （-3，0）
B. （2，0）
C. （3，0）
D. （4，0）

提问时间：2021-01-12

答案

设点P的坐标为（x，0），可得

AB

=（x-2，-2），

BP

=（x-4，-1）．
因此，

.

AP

•

BP

=（x-4）（x-2）+2=x²-6x+10=（x-3）²+1．
∵二次函数y=（x-3）²+1，当x=3时取得最小值为1
∴当x=3时，

.

AP

•

BP

取得最小值1，此时P（3，0）．
故选：C

设P（x，0），可得

AB

、

BP

含有x的坐标形式，由向量数量积的坐标运算公式得

.

AP

•

BP

=x²-6x+10，结合二次函数的图象与性质，可得当x=3时

.

AP

•

BP

取得最小值1，得到本题答案．

本题考点：平面向量数量积的运算．

考点点评：本题给出向量

OA

、

OB

的坐标，求在x轴上一点P，使

.

AP

•

BP

有最小值．着重考查了向量数量积的坐标运算公式和二次函数的性质等知识，属于基础题．