题目
设指数函数f(x)=e^(ax)(a>0),过点P(a,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,则PQR的面积的最小值是?
0.5根号(2e)
0.5根号(2e)
提问时间：2021-01-10
答案
首先,Q(a,e^(a²))
f'(x)=ae^(ax)
即为切线的斜率
切线：y=ae^(a²)(x-a)+e^(a²)
得R（a-1/a,0)
S△PQR=e^(a²)/(2a)=g(a)
令g'(a)=(2a²-1)e^(a²)/2a²=0
得a²=1/2这是极小值点
得PQR的面积的最小值是根号(2e)/2
f'(x)=ae^(ax)
即为切线的斜率
切线：y=ae^(a²)(x-a)+e^(a²)
得R（a-1/a,0)
S△PQR=e^(a²)/(2a)=g(a)
令g'(a)=(2a²-1)e^(a²)/2a²=0
得a²=1/2这是极小值点
得PQR的面积的最小值是根号(2e)/2
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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