题目

已知：(sinx)^(n-2)=sin[x+(n-2)π/2],求y^(n).
y=sinx,y^(n)是y的n阶导数

提问时间：2021-01-10

答案

因为sin(π/2+a)=cosa,
所以
y=sinx,则：
y'=cosx=sin(π/2+x)；
y''=(cosx)'=-sinx=sin(π+x) 或
y''=[sin(π/2+x)]'=cos(π/2+x)=sin(π/2+x+π/2)=sin(π+x)；
y^(3)=(-sinx)'=-cosx=sin(3π/2+x) 或
y^(3)=[sin(π+x)]'=cos(π+x)=sin(π+x+π/2)=sin(3π/2+x)；
.
y^(n-2)=sin[(n-2)π/2+x]；
y^(n-1)={sin[(n-2)π/2+x]}'
=cos[(n-2)π/2+x]=sin[(n-2)π/2+x+π/2]=sin[(n-1)π/2+x]；
y^(n)={sin[(n-1)π/2+x]}'
=cos[(n-1)π/2+x]=sin[(n-1)π/2+x+π/2]=sin(nπ/2+x)；
所以y^(n)=sin(nπ/2+x).