题目

立体几何中用空间向量怎么求两条异面直线的距离

提问时间：2021-01-09

答案

如图所示,已知<a>和<b>,<c>为<a>所在直线上任意一点与
<b>所在直线上任意一点连线形成的向量,<m>是<a>和<b>
的法向量,d为<a>、<b>所在的两条异面直线的距离,则
因为d=|<c>|cosθ,cosθ=|<m>•<c>|/|<m>||<c>|
所以d=|<m>•<c>|/|<m>|  (d等于绝对值法向量和桥向量的
数量积除以法向量的模,简化为口诀:"d等于,绝法桥积,除法模",
其中的桥向量是根据它的性质来命名的,它就像一座桥梁一样,
将<a>和<b>连接在一起,故以此名之)
最后要说的是,<m>也就是法向量的求法
因为<a>=(x1,y1,z1),<b>=(x2,y2,z2)
所以<m>=(+(z2*y1-y2*z1),-(z2*x1-x2*z1),+(y2*x1-x2*y1))
推导过程省略,如有疑虑,可将<m>分别与<a>、<b>求数量积,看
是否都为0,或自行推导出此结论
说明:由于向量表达不便,因此用< >代替,请见谅!