题目

2001个数a1、a2、a3、a4、……、a2001,每个数只能取+1或-1两个值,求它们两两相乘的积
2001个数a1、a2、a3、a4、……、a2001,每个数只能取+1或-1两个值,求它们两两相乘积的和a1a2+a1a3+……+a1a2001+a2a3+a2a4+……+a2a2001+……+a2000a2001的最小值.

提问时间：2021-01-09

答案

设有x个1,则有2001-x个-1,则2个数都取1,则有x(x-1)/2个组合,2个数都取-1,则有（2001-x)(2001-x-1)/2个组合,取1和-1个一个,则有x（2001-x）个组合
a1a2+a1a3+……+a1a2001+a2a3+a2a4+……+a2a2001+……+a2000a2001
=x(x-1)/2+(2001-x)(2001-x-1)/2-x(2001-x)
=2x^2-4002x+2001*1000
=2(x-2001/2)^2+2001*1000-2001^2/4
所以当x=1000或x=1001时,有最小值S
S=2*1000^2-4002*1000+2001*1000=-1000