题目

已知命题所有x都使x^4+aX^2+1大于或等于0为真命题,求实数a的取值范围
答案为a大于等于-2

提问时间：2021-01-09

答案

由于：所有x都使x^4+aX^2+1大于或等于0 这个命题为真命题
所以有：x^4+aX^2+1 >= 0 恒成立；
设 t = x^2 则 t >= 0;
那么上述可以表示为：
不等式：t^2 + a*t + 1 >= 0 当t >= 0 时 恒成立；
设f(t) = t^2 + a*t + 1
则只要min f(t) >= 0 即可
这个二次函数的对称轴为 t = -a/2;
① -a/2 = 0时,f(t)在t >= 0 是单调递增的,故 min f(t) = f(0)只需要让：f(0) >= 0
即 1 >= 0;显然是该式是恒成立的,所以 a.>= 0 是满足条件的；
② -a/2 >= 0 即 a = 0 时的最小值就是 f(-a/2);
所以令：f(-a/2) >= 0 即：(-a/2)^2 + a*(-a/2) + 1 >= 0 解得：-2