题目

已知函数f(x)的定义域为R,对任意x,y属于R,有 f(x+y)=f(x-y)=2f(x)*f(y),且f(0)不等于0
证明:1.f(0)=1
2.y=f(x)是偶函数
3.f(3)=-2.f(12)的值

提问时间：2021-01-07

答案

首先,f(0)=1/2而不是1.
证明：因为对任意x,y属于R,有 f(x+y)=f(x-y)=2f(x)*f(y),且f(0)不等于0.
令x=y=0
则f(0+0)=f(0-0)=2f(0)*f(0)
f(0)=1/2
令x=0,则f(y)=f(-y),所以f(x)是偶函数.
f(3+3)=2f(3)*f(3)=8
f(6)=8
f(6+6)=2f(6)*f(6)=f(12)=128
感觉最后一问是悖论,因为f(3+3)=f(3-3)=f(0)=1/2?