题目

一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30°，则这条线段与这个二面角的棱所成的角是 ___ ．

提问时间：2021-01-05

答案

如图，AB的两个端点A∈α，B∈β，
过A点作AA′⊥β，交β于A′，连接BA′，则∠ABA′为线段AB与β所成角，且∠ABA′=30°，
同理，过B作BB′⊥α，交α于B′，则∠BAB′为BB′与α所成角，且∠BAB′=30°．
过B作BD∥A′B′，且BD=A′B′，则∠ABD为所求
∴A′B′BD为平行四边形
在直角△ABB′中，BB′=ABsin30°=

AB

2

在直角△ABA′中，AA′=ABsin30°=

AB

2

，A′B=ABcos30°=

3 AB

2

在直角△A′BD中，BD=

2

2

A′B
在直角△ABD中，sin∠ABD=

AD

AB

=

2

2

，
∴∠ABD=45°
故答案为：45°

先找到这条线段与这两个平面所成角的平面角，再作出线线角，利用题中的直角三角形即可求得．

本题考点：异面直线及其所成的角．

考点点评：本题考查了直线与平面所成角的求法，考查线线角，做题时正确作出角，再放入三角形中去解是解题的关键．