题目

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1),p是动点,且三角形POA的三边所在直线的斜率满足
Kop+Koa=Kpa
1,求点P的轨迹C的方程
2,若Q是轨迹C上异于P的一个点,且PQ向量=aOA向量,直线OP与QA交于点M,问是否存在点P使得△PQA的面积=2△PAM的面积,若存在求P的坐标.
急,要步骤

提问时间：2021-01-04

答案

解 ：Ⅰ ） 设 点 P ( x,y ) 间 所 求 轨 迹 上 的 任 意 一 点 ,则 由 （ kOP + kOA = k PA 得,y 1 y −1 + = ,x −1 x + 1 整理得轨 迹 C 的方程间 y = x 2 （ x ≠ 0 且 x ≠ −1 ）.··············································· 4 分 （Ⅱ）方法一、 方法一、 方法一 设 P ( x1 ,x1 ) ,Q( x2 ,x2 ) ,M ( x0 ,y0 ) ,2 2 由 PQ = λ OA 可知直线 PQ //OA ,则 k PQ = kOA ,故 2 x2 − x12 1 − 0 = ,即 x2 + x1 = −1 ,····················· 6 分 x2 − x1 −1 − 0 uuu v uuu v 由 O、M 、P 三点共线 可知,uuuu r uuu r OM = ( x0 ,y0 ) 与 OP = ( x1 ,x12 ) 共线 ,∴ x0 x12 − x1 y0 = 0 ,由（Ⅰ）知 x1 ≠ 0 ,故 y0 = x0 x1 ,同理,由 AM = ( x0 + 1,y0 − 1) 与 AQ = ( x2 + 1,x2 − 1) 共线 ,∴ 2 ( x0 + 1)( x2 − 1) − ( x2 + 1)( y0 − 1) = 0 ,即 ( x2 + 1)[( x0 + 1)( x2 − 1) − ( y0 − 1)] = 0 ,由（Ⅰ）知 x1 ≠ −1 ,故 ( x0 + 1)( x2 − 1) − ( y0 − 1) = 0 ,y0 = x0 x1 ,x2 = −1 − x1 代入上式得 ( x0 + 1)(−2 − x1 ) − ( x0 x1 − 1) = 0 ,整理得 −2 x0 ( x1 + 1) = x1 + 1 ,由 x ≠ −1 得 x0 = − 由 S ∆PQA = 2 S ∆PAM ,得到 QA = 2 AM ,因间 PQ //OA ,所以 OP = 2OM ,由 PO = 2OM ,得 x1 = 1 ,∴ P 的坐标 间 (1,1) ．