题目

设向量组a1,a2,a3.am中a1不等于0,且每个ai不是看它前面i-1个向量的线性组合,证明：a1,a2,.am线性无关

提问时间：2021-01-03

答案

反证法：假设他们线性相关,则存在一组不全为0的数x1,x2,……,xm使得x1a1+x2a2+……+xmam=0
从这m个数的右边数第一个不为0的数记为xk.（下标最大的不为0的数）
则x(k+1),x(k+2),……,xm都是0.
所以x1a1+x2a2+……+xmam=0 消去后面几个=0的项
变成x1a1+x2a2+……+xkak=0
因为xk不等于0所以
ak=-(x1a1+x2a2+……+x(k-1)a(k-1))/xk
这与每个ai不是看它前面i-1个向量的线性组合矛盾.
所以假设不成立
即他们线性无关