题目
在三角形ABC中,若a+c=根号2*b,求tanA/2tanC/2的值
快 急死了
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提问时间:2021-01-03
答案
.由正弦定理知:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
a=sinA·2R
b=sinB·2R
c=sinC·2R
而a+c=√2b
即sinA·2R+sinC·2R=√2sinB·2R
∴sinA+sinC=√2sinB
∵π-B=A+c
∴sinB=sin(π-B)=sin(A+C)
根据和差化积公式:sinA+sinC=2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)
倍角公式:sin(A+C)=2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)
则2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)=2√2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)
即cos(A/2-C/2)=√2cos(A/2+C/2)
cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)=√2[cos(A/2)cos(C/2)-sin(A/2)sin(C/2)]
两边同时除以cos(A/2)cos(C/2),得:
1+tan(A/2)tan(C/2)=√2[1-tan(A/2)tan(C/2)]
令tan(A/2)tan(C/2)=x
1+x=√2(1-x)
1+x=√2-√2x
√2x+x=√2-1
(√2+1)x=√2-1
x=(√2-1)/(√2+1)
x=3-2√2
即tan(A/2)tan(C/2)=3-2√2
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
a=sinA·2R
b=sinB·2R
c=sinC·2R
而a+c=√2b
即sinA·2R+sinC·2R=√2sinB·2R
∴sinA+sinC=√2sinB
∵π-B=A+c
∴sinB=sin(π-B)=sin(A+C)
根据和差化积公式:sinA+sinC=2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)
倍角公式:sin(A+C)=2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)
则2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)=2√2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)
即cos(A/2-C/2)=√2cos(A/2+C/2)
cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)=√2[cos(A/2)cos(C/2)-sin(A/2)sin(C/2)]
两边同时除以cos(A/2)cos(C/2),得:
1+tan(A/2)tan(C/2)=√2[1-tan(A/2)tan(C/2)]
令tan(A/2)tan(C/2)=x
1+x=√2(1-x)
1+x=√2-√2x
√2x+x=√2-1
(√2+1)x=√2-1
x=(√2-1)/(√2+1)
x=3-2√2
即tan(A/2)tan(C/2)=3-2√2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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