题目
若f(x)在R上可导,
(1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系;
(2)证明:若f(x)为偶函数,则f′(x)为奇函数.
(1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系;
(2)证明:若f(x)为偶函数,则f′(x)为奇函数.
提问时间:2021-01-02
答案
(1)设f(-x)=g(x),则
g′(a)=
=
=-
=-f′(-a).
∴f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数.
(2)证明:f′(-x)=
=
=-
=-f′(x).
∴f′(x)为奇函数.
g′(a)=
lim |
△x→0 |
g(a+△x)-g(a) |
△x |
=
lim |
△x→0 |
f(-a-△x)-f(-a) |
△x |
=-
lim |
-△x→0 |
f(-a-△x)-f(-a) |
-△x |
=-f′(-a).
∴f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数.
(2)证明:f′(-x)=
lim |
△x→0 |
f(-x+△x)-f(-x) |
△x |
=
lim |
△x→0 |
f(x-△x)-f(x) |
-△x |
=-
lim |
△x→0 |
f(x-△x)-f(x) |
-△x |
=-f′(x).
∴f′(x)为奇函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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