题目

1.在三棱锥A-BCD中,顶点A在底面BCD上的射影是E,当AB,AC,AD两两互相垂直时,E是△ABC的什么心?
请给出证明噢
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,按要求,找出线面所成角的平面角：
直线A1D与平面BD1C

提问时间：2021-01-02

答案

AA'为正三棱锥A-BCD的高；OO'为正三棱锥O-BCD的高
因为底面△BCD相同,则它们的体积比为高之比
已知三棱锥A-BCD的体积为1
所以,三棱锥O-BCD的体积为：
OO′
AA′
…（1）
由前面知,FG∥CD且
FG
CD
=
2
3
所以由平行得到,
FG
CD
=
GN
NC
=
2
3
所以,
GN
GC
=
2
5
[面BCG所在的平面图如左上角简图]
同理,
GP
GB
=
2
5
则,
GN
GC
=
GP
GB
所以,PN∥BC
那么,
PN
BC
=
GN
GC
=
2
5
亦即,
GT
GQ
=
GN
GC
=
2
5
设GQ=x
那么,GT=
2
5
x
则,QT=GQ-GT=x-
2x
5
=
3x
5
而,
TO
OQ
=
TN
BQ
=
GN
GC
=
2
5
所以：
TO
TQ
=
2
7
则,TO=
2
7
QT=
2
7
×
3
5
x=
6x
35
所以：GO=GT+TO=
2
5
x+
6x
35
=
4x
7
所以,OQ=GQ-GO=x-
4x
7
=
3x
7
又,
OQ
GQ
=
OO′
GG′
所以,
OO′
GG′
=
3x
7
x
=
3
7
…（2）
且,
DG
DA
=
GG′
AA′
所以：
GG′
AA′
=
1
3
…（3）
由（2）*（3）得到：
OO′
AA′
=
3
7
×
1
3
=
1
7
代入到（1）得到：
三棱锥O-BCD的体积就是
OO′
AA′
=
1
7