题目

如图,一个四边形MNPQ的各顶点在边长为1的正方形ABCD各边上,四边形MNPQ边长分别为a,b,c,d.求a²+b²+c²+d²的范围

提问时间：2021-01-02

答案

十多年没算过这个东西了,真怀念啊,不知道对不对,我来试试看
假设MNPQ分别将正方形ABCD的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2
∵MNPQ都在正方形ABCD的四个边上,所以有四个直角三角形
∴a²+b²+c²+d²=m1²+m2²+n1²+n2²+p1²+p2²+q1²+q2²
∵m1+m2=正方形边长即为“1”（其他同理）
∴a²+b²+c²+d²=m1²+(1-m1)²+n1²+(1-n1)²+p1²+(1-p1)²+q1²+(1-q1)²
整理之后得到：
a²+b²+c²+d²
=2*(m1-1/2)²+1/2+2*(n1-1/2)²+1/2+2*(p1-1/2)²+1/2+2*(q1-1/2)²+1/2
=2*[(m1-1/2)²+(n1-1/2)²+(p1-1/2)²+(q1-1/2)²] + 2
m1、n1、p1、q1的长都是最大为1最小为0
它们都等于1/2时值最小,都等于1时值最大
那么a²+b²+c²+d²的最小值就是2,最大值就是4