题目

已知函数f(x)=lg(ax)·lg(x/a^3)
(1)当x∈[1,10]时,求f(x)的最小值g(a);
(2)在（1）的条件下,若g(a)=0,求实数a的值；
(3)若关于x的方程f(x)+3=0的所有解都大于100,求实数a的取值范围.

提问时间：2021-01-02

答案

（1）f(x)=lg(ax)•lg(x/a^3) 在区间[1,10]上连续,因此可导,f(x)′＝lg（x^2/a^2）/（xln10）,函数的 驻点满足f(x)′,即x＝a（a∈[1,10],a负数函数无 意义）,f(x)的最小值为 －4lg^2（±a）.
（2）由－4lg^2（±a）＝0,a＝1（a＝－1无意义）.
（3）x的方程f(x)+3=0的所有解都大于100,此范围内 f(x)+3为增函数 ,即lg(ax)•lg(x/a^3)＋3＞lg(100a)•lg(100/a^3)＋3=（lga－1）（－lga－7）,又满足f(x)+3＝0,则（lga－1）（－lga－7）＞0,解此不等式得,10＜a＜10^（7/3）.