题目

xdy+(y+x^2y^4)dx=0 求解微分方程,

提问时间：2021-03-22

答案

设z=1/y³,则y³=1/z,dy=-y^4dz/3
代入原方程得-xy^4dz/3+(y+x²y^4)dx=0
==>-xy³dz/3+(1+x²y³)dx=0
==>-xdz/(3z)+(1+x²/z)dx=0
==>xdz-(z+x²)dx=0
==>dz/dx-z/x=x.(1)
方程(1)是一阶线性方程,可用常数变易法求解.
先求齐次方程dz/dx-z/x=0的通解
∵dz/dx-z/x=0 ==>dz/z=dx/x
==>ln│z│=ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>z=Cx
∴齐次方程dz/dx-z/x=0的通解z=Cx (C是积分常数)
于是,设方程(1)的通解为z=C(x)x (C(x)表示关于x的函数)
∵dz/dx=C'(x)x+C(x)
代入方程(1)得C'(x)x+C(x)-C(x)=x
==>C'(x)=1
==>C(x)=x+C (C是积分常数)
∴方程(1)的通解是z=x(x+C)
==>1/y³=x(x+C)
==>y³=1/[x(x+C)]
故原微分方程通解是y³=1/[x(x+C)] (C是积分常数).