题目

大一高数 证明题一道（利用中值定理）
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,试证明存在ξ属于(a,b),使2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(ξ)
ps：不能用柯西中值定理

提问时间：2021-01-01

答案

设F(x)=f(x)-f(a)-(x²-a²)(f(b)-f(a))/(b²-a²)
则F(a)=F(b)=0,F(x)在[a,b]上满足中值定理条件
∴存在ξ∈(a,b)使得F'(ξ)=0
即f'(ξ)-2ξ(f(b)-f(a))/(b²-a²)=0
即2ξ(f(b)-f(a))=(b²-a²)f'(ξ)