题目

设x>y>z,n为整数,且1／x-y + 1／y-z ≥ n／x-z恒成立,那么n最大值多少?
设x>y>z,n为整数,且1／x-y + 1／y-z ≥ n／x-z恒成立,那么n最大值多少?

提问时间：2021-01-01

答案

n的最大值为4
解法：
∵1/(x-y)+1/(y-z)≥n/(x-z)
(不等式两边同时乘以（x-z) 由x>y>z得x-y>0,y-z>0,x-z>0）
∴(x-z)/(x-y)+(x-z)/(y-z)≥n（再通分）
∴(x-z)*(x-z)/{(x-y)*(y-z)}≥n
此时令x-y=a,y-z=b,则显然(a+b)*(a+b)=(x-z)*(x-z)
上式就变成了(a+b)*(a+b)/(a*b)≥n
这时利用均值不等式可知n最大可取4 当且仅当a=b（即x-y=y-z）时成立
希望对你有所帮助