题目

一道数学题：设n为大于1的正整数,证明n5+n4+1不是素数 最好是高中证法

提问时间：2020-12-31

答案

n^5+n^4+1
=n^5+n^4+n^3-n^3+1
=n^3(n²+n+1)-(n^3-1)
=n^3(n^2+n+1)-(n-1)(n^2+n+1)
=(n^3-n+1)(n^2+n+1)
假设不是素数,则(n^3-n+1),(n^2+n+1)中,至少有一个为1,另一个为1或素数
①n^3-n+1=1
n^3-n=0
n(n-1)(n+1)=0
n=0或n=1或n=-1,与已知矛盾
②n^2+n+1=1
n^2+n=0
n(n+1)=0
n=0或n=-1,与已知矛盾
所以(n^3-n+1),(n^2+n+1)都不等于1
所以假设错误
所以n^5+n^4+1不是素数