题目

已知直线l:y=2x-10与圆C：x^2+y^2-4x+2y+m=0相交于A,B两点,求：当以AB为直径的圆过原点时,求实数m的值.

提问时间：2020-12-29

答案

∵A、B都在直线l上,∴可令点A、B的坐标分别是（a,2a－10）、（b,2b－10）.
联立：y＝2x－10、x^2＋y^2－4x＋2y＋m＝0,消去y,得：
x^2＋（2x－10）^2－4x＋2（2x－10）＋m＝0,
∴x^2＋4x^2－40x＋100－4x＋4x－20＋m＝0,　∴5x^2－40x＋80＋m＝0.
显然,a、b是方程5x^2－40x＋80＋m＝0的两根,∴由韦达定理,有：
a＋b＝40/5＝8、ab＝（80＋m）/5.
∵AB是△OAB的外接圆直径,∴OA⊥OB,∴向量OA·向量OB＝0.
而向量OA＝（a,2a－10）、向量OB＝（b,2b－10）,∴ab＋（2a－10）（2b－10）＝0,
∴ab＋4ab－20（a＋b）＋100＝0,∴5［（80＋m）/5］－20×8＋100＝0,
∴80＋m－60＝0,∴m＝－20.
∴满足条件的m的值是－20.