题目

设动直线x=m与函数f（x）=x³，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为（　　）
A.

1

3

(1+ln3)
B.

1

3

ln3
C.

1

3

(1−ln3)
D. ln3-1

提问时间：2020-12-29

答案

画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离．
设F（x）=f（x）-g（x）=x³-lnx，
求导得：F'（x）=3x2−

1

x

．
令F′（x）＞0得x＞

1

3 3

；令F′（x）＜0得0＜x＜

1

3 3

，
所以当x=

1

3 3

时，F（x）有最小值为F（

3

3

）=

1

3

+

1

3

ln3=

1

3

（1+ln3），
故选A

构造函数F（x）=f（x）-g（x），求出导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间，令导函数小于0求出函数的单调递减区间，求出函数的极小值即最小值．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：求函数的最值时，先利用导数求出函数的极值和区间的端点值，比较在它们中求出最值．