题目

高中数学必修2的一道关于圆的题
已知以点C（t,2/t）（t属于R,t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.
(1)求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.
重点是第二问的过程,

提问时间：2020-12-29

答案

（1）
∵圆C过原点O,∴OC²=t²+ 4/t²,
则圆C的方程为 (x-t)²+(y-2/t)²=t²+4/t²
令x=0,得y=0,或y= 4/t
令y=0,得x=0,或x=2t
所以,A点坐标为（2t,0）,B点坐标为（0,4/t）,
∴S△OAB= OA×OB×1/2= |4/t|×|2t|×1/2=4
即,△OAB的面积为定值4
（2）
∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|
∴OC垂直平分线段MN．
∵直线y的斜率=线段MN的斜率=-2
∴线段OC所在直线的斜率= 1/2
∵点C坐标为（t,2/t）
∴ (2/t)/t=1/2,即 t²=4
解得 t=2,或t=-2
当t=2时,
圆心C的坐标为（2,1）,半径OC=√5
此时圆心到直线y=-2x+4的距离
d=|-4-1+4|/ √5=(√5)/5＜√5
即,圆C与直线y=-2x+4相交于两点．符合题意
当t=-2时,
圆心C的坐标为（-2,-1）,半径OC=√5
此时圆心到直线y=-2x+4的距离
d=|4+1+4|/√5=(9√5)/5＞√5
即,圆C与直线y=-2x+4不相交
∴ t=-2不合题意,舍去．
∴ 圆C的方程为(x-2)²+(y-1)²=5