题目
P为△ABC内部任意一点,设AP,BP,CP分别交BC,CA,AB于点D,E,F,求证:S△DEF=(2PD*PE*PF/PA*PB*PC)*S△ABC
提问时间:2020-12-29
答案
这是一道计算证明题.
容易看出问题的关键是AD,BE,CF共点于P,则可以考虑使用梅涅劳斯定理和塞瓦定理.
记 AF/FB=x,BD/DC=y,CE/AE=z,则由塞瓦定理知:xyz=1
考虑FPC在△ABD三边上,由梅涅劳斯定理:(AF/BF)(BC/CD)(PD/AP)=1,
进一步求出 PD/AP=1/(x(1+z))
同理:PE/BP=1/(z(1+y)),FP/PC=1/(y(1+x))
从而有:(PD*PE*PF)/(PA*PB*PC)=1/((1+x)(1+y)(1+z))
另一方面,S△DEF/S△ABC=1-S△AEF/S△ABC-S△BDF/S△ABC-S△CDE/S△ABC
=1-x/((1+x)(1+y))-z/((1+x)(1+z))-y/((1+z)(1+y))
=2/((1+x)(1+y)(1+z))
从而命题得证.
容易看出问题的关键是AD,BE,CF共点于P,则可以考虑使用梅涅劳斯定理和塞瓦定理.
记 AF/FB=x,BD/DC=y,CE/AE=z,则由塞瓦定理知:xyz=1
考虑FPC在△ABD三边上,由梅涅劳斯定理:(AF/BF)(BC/CD)(PD/AP)=1,
进一步求出 PD/AP=1/(x(1+z))
同理:PE/BP=1/(z(1+y)),FP/PC=1/(y(1+x))
从而有:(PD*PE*PF)/(PA*PB*PC)=1/((1+x)(1+y)(1+z))
另一方面,S△DEF/S△ABC=1-S△AEF/S△ABC-S△BDF/S△ABC-S△CDE/S△ABC
=1-x/((1+x)(1+y))-z/((1+x)(1+z))-y/((1+z)(1+y))
=2/((1+x)(1+y)(1+z))
从而命题得证.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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