题目

所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m，所有以质数q为分母的最简真分数的和记为n．若mn=48，求m+n的可能值．

提问时间：2020-12-28

答案

因为p为质数，
所以

1

p

，

2

p

，…，

p−1

p

为最简真分数，
所以m＝

1+2+…+(p−1)

p

＝

p−1

2

，
同理可得n＝

q−1

2

，
所以（p-1）（q-1）=2⁶×3．
首先，因为上式右端3的因子只有一个，
所以p和q不可能相等，不妨设p＞q，
因为2⁶×3=2×96=4×48=8×24=16×12=32×6=3×64，
所以p和q可以是以下情形：
p=97，q=3，对应的m+n=49，
p=17，q=13，对应的m+n=14．
故答案为：49，14．