题目

如图，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，则∠MAN=______．

提问时间：2020-12-28

答案

把△ADN绕着点A按顺时针方向旋转90°后，得到△ABE，
∴AE=AN，BE=DN，∠ABE=∠D=90°，∠NAE=90°，
而∠ABC=90°，
∴点M、B、E共线，
∴ME=BE+BM=DN+BM，
∵△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，
∴MN+NC+MC=DC+BC=DN+NC+MC+BM，
∴MN=DN+BM，
∴MN=ME，
在△MAN和△MAE中，

AN＝AE MN＝ME AM＝AM

，
∴△MAN≌△MAE（SSS），
∴∠NAM=∠EAM，
∴∠MAN=

1

2

∠NAE=45°．
故答案为45°．

把△ADN绕着点A按顺时针方向旋转90°后，得到△ABE，根据旋转的性质得到AE=AN，BE=DN，∠ABE=∠D=90°，∠NAE=90°，由∠ABC=90°得到点M、B、E共线，则ME=BE+BM=DN+BM，再利用△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半可得到MN=DN+BM，然后根据“SSS”可证明△MAN≌△MAE，则∠NAM=∠EAM，于是可计算出∠MAN=

1

2

∠NAE=45°．

本题考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质以及正方形的性质．