题目

如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．证明：β=2α

提问时间：2020-12-28

答案

证法1：∵AB∥ED，
∴α=∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）
过C作CF∥AB（如图1）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）
∵CF∥AB，
∴∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）
又∵CF∥ED，
∴∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）
∴β=∠B+∠C+∠D=∠1+∠BCD+∠2=360°（周角定义）
∴β=2α（等量代换）
证法2：∵AB∥ED，
∴α=∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）
过C作CF∥AB（如图2）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）
∵CF∥AB，
∴∠B+∠1=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
又∵CF∥ED，
∴∠2+∠D=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∴β=∠B+∠C+∠D=∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°，
∴β=2α（等量代换）