题目

斯特沃尔特定理的内容

提问时间：2020-10-16

答案

斯特瓦尔特定理 斯特瓦尔特(stewart)定理 设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有 AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC＝BC·DC·BD． 证明 在图2－6中,作AH⊥BC于H．为了明确起见,设H和C在点D的同侧,那么由广勾股定理有 AC^2=AD^2＋DC^2-2DC·DH,(1) AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH． (2) 用BD乘(1)式两边得 AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD,(1)′ 用DC乘(2)式两边得 AD^2·DC=AD^2·DC＋BD^2·DC＋2BD·DH·DC．(2)′ 由(1)′+(2)′得到 AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD＋DC)+DC^2·BD＋BD^2·DC =AD^2·BC+BD·DC·BC． ∴AB^2·DC＋AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD．