题目

在三角形ABC中,角C等于90度,AC=BC,BD为角平分线,AE垂直BD交BD的延长线于E,求证:AE=1/2BD.

提问时间：2020-12-27

答案

延长AE,交BC的延长线于点F,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABE＝∠FBE,
又∵BE＝BE,
∠BEA＝∠BEF＝90度,
∴△ABE≌△FBE（ASA）
∴AE＝FE（全等三角形的对应边相等）
∴AE＝1/2AF；
又∵∠FAC+∠EDA＝90度,
∠CBD+∠CDB＝90度,
而∠EDA＝∠CDB（对顶角相等）
∴∠FAC＝∠CBD（等角的余角相等）
在△ACF与△BCD中
∠FAC＝∠CBD
AC＝BC
∠ACF＝∠BCD＝90度,
∴△ACF≌△BCD（ASA）
∴AF＝BD,
∴AE＝1/2AF＝1/2BD.