题目
对于函数f(x),若存在x0属于R,使f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点,已知f(x)=ax^2=(b+1)x+(b-1) (a不等于0)
(1)当a=1,b=-2,求函数f(x)的不动点
(2)若对任意实数,函数f(x)恒有两个相异不动点,求a的取值范围
(3)在(2)的条件下,令g(x)=1/x+2+log a(1+x/1-x),解关于x的不等式g[x(x-1/2)]小于1/2
第一问已算出,求解(2)(3)问
(1)当a=1,b=-2,求函数f(x)的不动点
(2)若对任意实数,函数f(x)恒有两个相异不动点,求a的取值范围
(3)在(2)的条件下,令g(x)=1/x+2+log a(1+x/1-x),解关于x的不等式g[x(x-1/2)]小于1/2
第一问已算出,求解(2)(3)问
提问时间:2020-12-26
答案
题目的已知中有一个笔误,f(x)=ax^2+(b+1)x+(b-1) 下面回答(2)
由不动点的定义知:
对任意实数,函数f(x)恒有两个相异不动点等价于
关于x的方程f(x)=x恒有两个相异的实根.
即方程ax^2+bx+(b-1) =0对应的Δ恒>0
所以b^2+4a(b-1)>0对于任意的b 属于R恒成立.
方法一:借助函数g(b)=b^2+4a(b-1)的图像恒在横轴的上方,知
b^2+4ab-4a=0 对应的Δ-b^2/(b-1)恒成立,-b^2/(b-1)的最大值为-4,知a >-1;
当b-1
由不动点的定义知:
对任意实数,函数f(x)恒有两个相异不动点等价于
关于x的方程f(x)=x恒有两个相异的实根.
即方程ax^2+bx+(b-1) =0对应的Δ恒>0
所以b^2+4a(b-1)>0对于任意的b 属于R恒成立.
方法一:借助函数g(b)=b^2+4a(b-1)的图像恒在横轴的上方,知
b^2+4ab-4a=0 对应的Δ-b^2/(b-1)恒成立,-b^2/(b-1)的最大值为-4,知a >-1;
当b-1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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