题目

已知：如图,在平行四边形ABCD中,点E.F分别是AB.CD的中点,CE.AF与对角线BD分别相交于点G.H
(1)求证：DH=HG=BG
(2)如果AD⊥BD,求证：四边形EGFH是菱形

提问时间：2021-02-08

答案

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD
∵点E、F分别是AB、CD的中点,
∴ DH/HB=DF/AB=DF/CD=1/2．
∴DH= 1/3BD．
同理：BG= 1/3BD．
∴DH=HG=GB= 1/3BD．
（2）连接EF,交BD于点O．
∵AB∥CD,AB=CD,点E、F分别是AB、CD的中点,
∴ FO/EO=OD/BO=DF/BE=(1/2CD)/(1/2AB)=1．
∴FO=EO,DO=BO．
∵DH=GB,
∴OH=OG．
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵点E、O分别是AB、BD的中点,∴OE∥AD．
∵AD⊥BD,
∴EF⊥GH．
∴四边形HEGF是菱形．