题目

对于向量a,b,c,证明列不等式并说明等号何时成立.（1）|a|-|b|≤|a-b| （2）|a+b+c|≤ |a|+|b|+|c|

提问时间：2020-12-25

答案

用代数方法证明：（当然,也可以用几何法）.
设a,b的夹角为θ
|a-b|²=(a-b)²=a²+b²-2a·b
=|a|²+|b|²-2|a|·|b|·cosθ
≥|a|²+|b|²-2|a|·|b|
=(|a|-|b|)²,
当且仅当cosθ=1时,上式取等号.
于是有|a|-|b|≤|a-b|,取等号的条件是a,b共线且同向.
注：所用知识点：1.向量的平方等于向量的模的平方.2.向量的数量积有关知识.
同理,可证|a+b+c|≤ |a|+|b|+|c|,取等号的条件上a,b,c共线且同向.