题目

证明不等式时等号取不到该不等式也正确吗
e.g.证明x+1/x≥2（x≥5）
从命题的角度,这里的不等号是理解为“＞ or =”只要其中一个成立就行吗?如果是的话不是很奇怪吗?假如我现在要证x+1/x≥2（x≤1,x≠0）,那我当x=1时等号成立,我就说这个不等式成立?这很显然是搞笑的...但错在哪里?从命题的角度来说,≥号的确是理解为“＞ or =”只要其中一个成立就行的吧.

提问时间：2020-12-25

答案

大体上是没错的,“≥号的确是理解为“＞ or =”只要其中一个成立就行” 这句话是对的,比如你举得例子x+1/x≥2,当x=1时,等号成立,那么不等式就成立,x=1是不等式的一个解,而x=-1不等式不成立,x=-1就不是不等式的一个解.
我们一般说求解不等式,是要求列出所有的解的集合,不可以多也不可以漏.单独拿出来x=1,不等式确实成立,但是x=1并不代表不等式所有的解,实际上,不等式x+1/x≥2的解集是x>0,这才是要求的标准答案.
如果是证明不等式,需要证明的是满足题设条件下所有的x均满足不等式的成立条件,显然不存在一个特定值同时使大于号和等于号成立,只需要满足一个就可以了,就拿楼主的例子来说只需要证明x≥5时不等式成立即可,但是具体取到每个值,只需要大于或者等于的条件成立其一即可,即使不存在相等的条件也所谓.
楼主认真的精神可嘉,另外,楼上该刷牙了