题目
已知等差数列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x^2-12x+27=0的两根,数列bn的前n项和为Tn,且Tn=1-1/2bn
已知等差数列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x^2-12x+27=0的两根,数列bn的前n项和为Tn,且Tn=1-1/2bn (1)求数列an,bn的通项公式;(2)记cn=anbn,对一切n属于Z,有cn小于等于2/3,求数列cn的前n项和Sn
已知等差数列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x^2-12x+27=0的两根,数列bn的前n项和为Tn,且Tn=1-1/2bn (1)求数列an,bn的通项公式;(2)记cn=anbn,对一切n属于Z,有cn小于等于2/3,求数列cn的前n项和Sn
提问时间:2020-12-25
答案
(1)∵等差数列{a[n]},公差大于零,a[2]、a[5]是方程x^2-12x+27=0的两根
∴a[2]=3=a[1]+d,a[5]=9=a[1]+4d
解得:a[1]=1,d=2
∴a[n]=1+2(n-1)=2n-1
∵数列{b[n]}的前n项和为S[n],且S[n]=1-b[n]/2
∴S[n+1]=1-b[n+1]/2
将上面两式相减,得:
b[n+1]=b[n]/2-b[n+1]/2
即:b[n+1]=b[n]/3
∵b[1]=S[1]=1-b[1]/2
∴b[1]=2/3
∴{b[n]}是首项为2/3,公比是1/3的等比数列
即:b[n]=(2/3)(1/3)^(n-1)=2/3^n
(2)∵c[n]=a[n]b[n] (n=1、2、3、.)
∴c[n]=(4n-2)/3^n
∵c[n]-c[n+1]
=(4n-2)/3^n-(4n+2)/3^(n+1)
=3(4n-2)/3^(n+1)-(4n+2)/3^(n+1)
=[3(4n-2)-(4n+2)]/3^(n+1)
=(12n-6-4n-2)/3^(n+1)
=(8n-8)/3^(n+1)
≥0 (等号仅在n=1时成立)
∴c[n]≥c[n+1] (等号仅在n=1时成立)
∴a[2]=3=a[1]+d,a[5]=9=a[1]+4d
解得:a[1]=1,d=2
∴a[n]=1+2(n-1)=2n-1
∵数列{b[n]}的前n项和为S[n],且S[n]=1-b[n]/2
∴S[n+1]=1-b[n+1]/2
将上面两式相减,得:
b[n+1]=b[n]/2-b[n+1]/2
即:b[n+1]=b[n]/3
∵b[1]=S[1]=1-b[1]/2
∴b[1]=2/3
∴{b[n]}是首项为2/3,公比是1/3的等比数列
即:b[n]=(2/3)(1/3)^(n-1)=2/3^n
(2)∵c[n]=a[n]b[n] (n=1、2、3、.)
∴c[n]=(4n-2)/3^n
∵c[n]-c[n+1]
=(4n-2)/3^n-(4n+2)/3^(n+1)
=3(4n-2)/3^(n+1)-(4n+2)/3^(n+1)
=[3(4n-2)-(4n+2)]/3^(n+1)
=(12n-6-4n-2)/3^(n+1)
=(8n-8)/3^(n+1)
≥0 (等号仅在n=1时成立)
∴c[n]≥c[n+1] (等号仅在n=1时成立)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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