题目

求函数f(x)=2x+1+√(2x+x2)的值域

提问时间：2020-12-23

答案

y=2x+1+√(2x+x^2)
定义域为（-∞,-2]U[0,+∞)
值域中的任意y值,都是有实数x计算得到的,
那么有值域中元素,一定能够反解出x来.
原解析式即
y-2x-1=√(2x+x^2)
两边平方：
y^2+4x^2+1-4yx+4x-2y=x^2+2x
即3x^2+(2-4y)x+y^2-2y+1=0
方程有实数解,则
Δ=(2-4y)^2-12(y^2-2y+1)≥0
即y^2+2y-2≥0
解得y≤-1-√3或y≥-1+√3
当x≥0时,函数为增函数,y≥1
∴函数值域为(-∞,-1-√3]U[1,+∞)