题目

7的六次方和6的七次方哪个大?不要计算器算的

提问时间：2020-12-23

答案

比大小 a^(a+1)和(a+1)^a
用前者除以后者即a*[a/（a+1）]^a
只要得出这个数大于1或是小1即可判断
那么等同于只要得出In{a*[a/（a+1）]^a}大于0或是小于0
In{a*[a/（a+1）]^a}=Ina + a*In[a/（a+1）]=Ina + a*In[1-1/（a+1）]
这个函数在a大于0时是单调增函数（求导即可）
即最多有一个值=0,且在此值之前小于0,此值之后大于0
那么两者之比在a取某值=1,且在此值之前小于1,此值之后大于1
那么两者之比在a取某值相等,且在此值之前a^(a+1)小于(a+1)^a,此值之后a^(a+1)大于(a+1)^a
带入基本几个数1、2、3、4就可知道,那个值在2与3之间
于是当a=1、2,a^(a+1)小于(a+1)^
当a=3、4、5……,a^(a+1)大于(a+1)^
所以6的7次方大