题目

高二不等式证明
1．设a,b,c为正实数,求证（1／a＾3）＋（1／b＾3）＋（1／c＾3）＋abc≥2倍根号三
2.在等式1／?＋9／?＝1的两个问号处各填一个自然数,使这两个自然数的和最小
麻烦把步骤写清楚哈～

提问时间：2020-12-23

答案

1.证明：
由均值不等式：1/a^3+1/b^3+1/c^3>=3*三次根号(1/a^3b^3c^3)=3/abc
于是1/a^3+1/b^3+1/c^3+abc>=3/abc+abc
再由均值不等式：3/abc+abc>=2√[(3/(abc))*abc]=2√3
证毕.
注记：这题是2008年江苏高考题.
2.设这两个自然数分别为x,y
则由题意有
1/x+9/y=1
由柯西不等式：
(x+y)(1/x+9/y)>=(1+3)^2=16
故x+y>=16
由柯西不等式等号成立条件：
x^2=y^2/9
联立条件1/x+9/y=1可解得x=4,y=12
所以填x=4,y=12的时候,它们的和最小为16