题目

已知a b是两个不共线向量,且向量a=(5cosα,5sinα)b=(5cosβ,5sinβ）
（1）求证：向量a+向量b与向量a-向量b垂直
（2）已知|a+b|＝√80,α属于（-π/4,π/4),β=π/4求sinα的值

提问时间：2021-03-13

答案

1、向量a+b=(5cosα+5cosβ,5sinα+5sinβ),
向量a-b=(5cosα-5cosβ,5sinα-5sinβ),
向量(a+b)•(a-b)=25(cosα)^2-25(cosβ)^2+25(sinα)^2-25(sinβ)^2
=25[(sinα)^2+(cosα)^2]-25[(sinβ)^2+(cosβ)^2]
=25-25
=0,
故向量(a+b)⊥(a-b).
2、向量a+b=(5cosα+5cosβ,5sinα+5sinβ),
|a+b|=√[25（cosα+cosβ）^2+25(sinα+sinβ)^2]
=√[25(1+2 cosαcosβ+2 sinαsinβ+1)]
=5√[2+2 cos(α-β)]
5√[2+2 cos(α-β)]= √80=4√5,
2+2 cos(α-β)=16/5,
cos(α-β)=3/5,
β=π/4,
cosα√2/2+sinα√2/2=3/5,
cosα+sinα=3√2/5,
1+sin2α=18/25,
sin2α=-7/25,
α∈（-π/4,π/4),
2α∈（-π/2,π/2),
sin2α