题目
(2006•安徽)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )
A. △A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B. △A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C. △A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D. △A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
A. △A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B. △A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C. △A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D. △A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
提问时间:2020-12-19
答案
因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0,
所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形.
若△A2B2C2是锐角三角形,由
,
得
,
那么,A2+B2+C2=
,这与三角形内角和是π相矛盾;
若△A2B2C2是直角三角形,不妨设A2=
,
则sinA2=1=cosA1,所以A1在(0,π)范围内无值.
所以△A2B2C2是钝角三角形.
故选D.
所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形.
若△A2B2C2是锐角三角形,由
|
得
|
那么,A2+B2+C2=
π |
2 |
若△A2B2C2是直角三角形,不妨设A2=
π |
2 |
则sinA2=1=cosA1,所以A1在(0,π)范围内无值.
所以△A2B2C2是钝角三角形.
故选D.
首先根据正弦、余弦在(0,π)内的符号特征,确定△A1B1C1是锐角三角形;
然后假设△A2B2C2是锐角三角形,则由cosα=sin(
−α)推导出矛盾;
再假设△A2B2C2是直角三角形,易于推出矛盾;
最后得出△A2B2C2是钝角三角形的结论.
然后假设△A2B2C2是锐角三角形,则由cosα=sin(
π |
2 |
再假设△A2B2C2是直角三角形,易于推出矛盾;
最后得出△A2B2C2是钝角三角形的结论.
诱导公式的作用.
本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式,同时考查反证法思想.
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