题目
如图,已知PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,点C在PB上,且CO∥PA,CD⊥PA于点D.
(1)求证:CO=DA;
(2)若⊙O的半径为6,BC=8,求AD的长.
(1)求证:CO=DA;
(2)若⊙O的半径为6,BC=8,求AD的长.
提问时间:2020-12-18
答案
(1)证明:如图,连接OA,则OA⊥AP,
∵CD⊥AP,
∴CD∥OA,
∵CO∥AP,
∴四边形ANMO是矩形,
∴CO=DA;
(2)连接OB,则OB⊥BP
∵OA=CD,OA=OB,CO∥AP.
∴OB=CD,∠OCB=∠DPC,
在△OCB和△CPD中,
,
∴△OCB≌△CPD(AAS),
∴OC=CP,PD=BC=8,
在Rt△MNP中,有PC2=CD2+PD2,
即PC2=62+82,
∴PC=10,
∴AD=10.
∵CD⊥AP,
∴CD∥OA,
∵CO∥AP,
∴四边形ANMO是矩形,
∴CO=DA;
(2)连接OB,则OB⊥BP
∵OA=CD,OA=OB,CO∥AP.
∴OB=CD,∠OCB=∠DPC,
在△OCB和△CPD中,
|
∴△OCB≌△CPD(AAS),
∴OC=CP,PD=BC=8,
在Rt△MNP中,有PC2=CD2+PD2,
即PC2=62+82,
∴PC=10,
∴AD=10.
(1)连接OA,由切线的性质可知OA⊥AP,再由CD⊥AP可知四边形ANMO是矩形,故可得出结论;
(2)连接OB,则OB⊥BP由OA=MN,OA=OB,CO∥AP.可知OB=CD,∠OCB=∠DPC.故可得出Rt△OCB≌△CPD,OC=CP,PD=BC,在Rt△CDP利用勾股定理即可求PC的值,进而求得AD的长.
(2)连接OB,则OB⊥BP由OA=MN,OA=OB,CO∥AP.可知OB=CD,∠OCB=∠DPC.故可得出Rt△OCB≌△CPD,OC=CP,PD=BC,在Rt△CDP利用勾股定理即可求PC的值,进而求得AD的长.
切线的性质.
本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质,在解答此类题目时往往连接圆心与切点,构造出直角三角形,再根据直角三角形的性质解答.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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