题目

利用三重积分计算曲面z=6-x²-y²与z=

x2+y2

所围成的立体的体积．

提问时间：2020-12-16

答案

设所围成的立体为Ω，则Ω的上半曲面是抛物面，下半曲面是开口向上的锥面，因此，宜用柱面坐标计算，
又由

z＝6−x2−y2 z＝ x2+y2

⇒交线

x2+y2＝4 z＝2

，
Dxy：x2+y2≤4，而r≤z≤6-r²
所以V=

∫∫∫

Ω

dV=

∫

2π 0

dθ

∫

2 0

rdr

∫

6−r2 r

dz=

32

3

π．

将两个曲面的交线求出来，然后写出所围成的立体，并用柱面坐标计算三重积分即可．

本题考点：利用柱坐标计算三重积分．

考点点评：此题考查柱坐标系下三重积分的计算，是基础知识点．